BAB 13 FUNGSI

FUNGSI

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

ü  Fungsi satu-satu dan pada

·         Dalam suatu fungsi ada yang merupakan hanya Fungsi Pada atau Fungsi Satu-Satu saja tapi ada yang termasu kedua-duanya. Fungsi yang merupakan fungsi satu-satu dan pada biasanya disebut dengan Fungsi Bijeksi. Secara matematis ditulis sebagai berikut.

·         Definisi :

·         Pemetaan (fungsi) f : A B dikatakan bijeksi (bijection) jika f adalah Fungsi Satu-Satu dan Fungsi Pada.

·          

·         Secara sederhana bahwa Fungsi Bijeksi akan terjadi jika jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain. Dengan catatan bahwa tidak ada dua domain berbeda atau lebih dipetakan ke kodomain yang sama dan setiap kodomain memiliki pasangan di domain.

·         Perhatikan diagram pemetaan dibawah ini.

·        

·         Keterangan :

·         Pemetaan pertama merupakan Fungsi Bijeksi karena sudah sesuai dengan Difinisi.

·         Pemetaan kedua bukan Fungsi Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadi Fungsi Pada. Perhatikan “d” dan “e” di domain, kedua anggota domain tersebut dipetakan ke anggota domain yang sama (lihat Definisi Fungsi Satu-Satu)

·         Pemetaan ketiga bukan Fungsi Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadi Fungsi Satu-Satu. Karena terdapat anggota kodomain yaitu “9″ yang tidak memiliki pasangan pada anggota domain.

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

2). Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

BAB 12 RELASI (MAT.ILMIAH)

RELASI

Definisi Relasi adalah suatu himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau  relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B.

Macam penyajian relasi :

Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

  Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}.

  Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :   (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b maka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

Penyajian relasi dengan diagram cartesius

Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B, contoh :

Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut

     Contoh relasi pada diagram panah dapat

             dinyatakan dalam

             bentuk pasangan terurut, yaitu :

             R = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)}

             

Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal,

sedangkan kolom kedua menyatakan daerah

hasil

Penyajian Relasi dengan Matriks

           
            Relasi antara A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}

           

Jenis-jenis Relasi

Relasi Invers

Misalkan R merupakan  relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan  adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ;

R-1= {(b,a) : (a,b)R}

contoh:
A = {1,2,3}           B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

Relasi Refleksif

Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri

Contoh Relasi Refleksif

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan

R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ?

R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1merupakan relasi refleksif.

Relasi Simetrik

Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh Relasi Simetrik

perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

Apakah relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?

pembahasan

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}

Relasi tersebut simetrik. Mari kita periksa satu per satu.

 kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar.

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}

Relasi anti Simetrik

Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.

Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.

Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3),l (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1pula.

Relasi Transitif

Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R.

Dengan kata lain

Jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R.

Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif

R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b),l (c,c)}

Relasi Equivalen

Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi ;

1.Sifat Refleksif

2.Sifat Simetrik

3.Sifat Transitif

Sekian penjelasannya, untuk  lebih paham, ada 1 soal nih.

1.      Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}

R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)}

R6 = {(3, 4)}

R7 = {(1, 1)}

R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}

Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat:

refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5.

R1 tidak refleksif karena (3, 3)∉R1.

Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7. 

Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R5, R6, dan R7.

Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7. 

Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel

berikut:

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R3

(2,1)   (1,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,2)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut:

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,3)   (3,3)   (1,3)        Anggota R5

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R5

(2,2)   (2,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,3)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

(2,4)   

(3,3)   

(3,4)   

(4,4)   

Relasi yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R1, dan R8.

·         PRODUK CARTESIUS SUATU RELASI

Produk Cartesius dan Relasi
Produk cartesius A dengan B :
Himpunan semua pasangan terurut (a, b) untuk setiap a  A, b  B
notasi : A x B
A x B = { (x, y) | x  A, y  B }
notasi : produk cartesius A x A = A2
Contoh:

A ´ B = {(1, p), (2, p), (3, p), (1, q), (2, q), (3, q) }
B ´ A = {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q, 2), (q, 3) }
Banyaknya pasangan terurut elemen A x B = 6 pasangan    
          
Macam Penyajian Relasi Antar 2 Himpunan
1. Diagram Panah
Himpunan E sebagai domain (daerah asal) diletakkan di sebelah kiri, dan himpunan F sebagai kodomain (kodomain) diletakkan di sebelah kanannya. Relasi antara himpunan E dan F ditunjukkan dengan arah panah. Seperti gambar di bawah ini

·         PENYAJIAN RELASI  DENGAN MATRIKS DAN DIAGRAM PANAH

Penyajian Matriks Relasi
R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)}

Diagram Panah
jika, a  A dan b  B
maka,   (a, b)  R (buat anak panah dari a ke b)

Penyajian Diagram Panah
R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)}

·         Relasi Invers

R = { (a, b) | a  A,   b  B }

R^-1 = { (b, a) | b  B,   a  A}

R dalam penyajian koordinat diperoleh dengan menukar sumbu x menjadi y dan sebaliknya

Contoh:

1) R = { (1,1), (4,2), (16,4) }

maka,

R^-1 = {(1,1), (2,4), (4,16) }

2) R adalah “x adalah istri dari y”

maka, inversnya adalah “ x adalah suami dari y ”

Relasi matriks dalam bentuk invers disajikan oleh matriks M^T (transpose matriks M)

Contoh:

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

                M =

Relasi R–1, transpose terhadap matriks M,

·         Komposisi Relasi

Misalkan:  R = relasi himpunan A ke himpunan B

S = relasi dari himpunan B ke himpunan C.

S o R = {(a, c) ½ a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b)  R dan (b, c)  S }

Misalkan: Relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} adalah

                     R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

                    Relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.

                    S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Maka komposisi relasi R dan S adalah

S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

Komposisi relasi R dan S

·         Sifat Relasi

Misal R sebuah relasi pada himpunan A

1. Refleksi  (a,a)  R untuk a  A
2. Simetris  (a,b)  R, berlaku (b,a)  R
3. Transitif   (a,b)  R, (b,c)  R berlaku (a,c)  R
4. Anti Simetri  (a,b)  R, (b,a)  R berlaku a = b