BAB 14 PRPORSISI

Pengertian Proposisi (Proposisi)

nilai kebenaran, yaitu: “Benar” (B) saja atau “Salah” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.

Contoh 1. Sebuah Proposisi atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
a. 13 adalah bilangan ganjil
b. Soekarno adalah alumnus UGM.
c. 1 + 1 = 2
d. 8 ³ akar kuadrat dari 8 + 8
e. Ada monyet di bulan

f. Hari ini adalah hari Rabu
g. Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap
h. x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil

Contoh 2. Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi
a Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
b Isilah gelas tersebut dengan air!
c x + 3 = 8
d x > 3

Lambang Proposisi
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Soekarno adalah alumnus UGM.
r : 2 + 2 = 4

Jenis-jenis Kalimat Matematika
Ada dua jenis kalimat matematika:

a. Kalimat tertutup, yaitu suatu kalimat yang nilai kebenarannya sudah pasti.
Contoh: 2 x 3 = 6 (kalimat tertutup yang pasti benar)
2 + 3 = 6 (kalimat tertutup yang pasti salah)

b. Kalimat terbuka, yaitu suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum pasti.
Contoh: x + 8 > 0, jika x = 1 akan menjadi Proposisi yang benar, namun jika x = -9 akan menjadi Proposisi yang salah.

TABEL KEBENARAN PROPOSISI

Tabel Kebenaran (Truth Table) adalah alat atau tabel yang digunakan untuk memberikan nilai dengan aturan tertentu.  Tabel kebenaran menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana.
Untuk melengkapi tabel kebenaran proposisi, terlebih dahulu kita harus mengetahui berapa banyak pernyataan yang termuat yang berlainan dalam tabel itu.  Langkah ini mutlak diperlukan agar tidak ada kemungkinan komposisi nilai kebenaran yang mungkin tak tertuliskan.

                                                       

A.   TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1][1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                                   (Premis)

(2)   C → B                                   (premis)

   (3) (A V C) → B                  (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B        

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2][2].

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.      [(p  q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

p	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                    (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

a.     (p ʌ q)  q

Penyelesaian:

(p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q

                         ~p v ~q v q

             ~p v T

             T .............(Tautologi)[3][3]

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

b.     q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

                          ~q v (q v p)

                          T v p

                          T ............(Tautologi)

B.   KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4][4]

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

C.   Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1.      Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p

p v q q v p

2.      Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r  p v (q v r)

3.      Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

4.      Hukum identitas:

p ʌ T  p

p v F  p

5.      Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T

P v F  F

6.      Hukum negasi:

P v ~p  T

P ʌ ~p  F

7.      Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

8.      Hukum idempoten:

P ʌ p  p

p v p  p

9.      Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q

~(p v q)  ~p ʌ ~q

10.   Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p

P ʌ (p v q)  p

11.  Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

12.  Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q[5][5]

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1.      Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)

                                      ~p ʌ (q v ~q)

                                      ~p ʌ T

                                      ~p ...........(terbukti)

2.      Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ʌ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

(1)                    (2)             (3)           (4)             (5)                   (6)                        (7)  

Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

Jadi, ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

Proporsisi aljabar

Setiap proposisi yang saling ekuivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Dibawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi,

1. Hukum Idempoten (Idem)

a.       p∨q ek p                           b. p∧p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

a.       (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

b.      (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

3. Hukum  Komutatif (Kom)

a.       p∨q ek q∨p

b.      p∧q ek q∧p

4. Hukum Distributif (Dist)

a.       p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

b.      p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

5. Hukum identitas (Id)

a.       p∨F ek p

b.      p∨B ek B

c.       p∧S ek S

d.      p∧T ek p

6. Hukum Komplemen (Komp)

a.       p∨∼p ek B

b.      p∧∼p ek S

c.       ∼(∼p) ek p

d.      ∼B ek S

7. Hukum Transposisi

p⇒q ek ∼q⇒∼p

8.Hukum Implikasi (Imp)

p⇒q ek ∼p∨q

9.Hukum Ekivalensi (Eki)

a.       p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

b.      p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

10.Hukum Eksportasi (Eks)

(p∧q) ⇒r ek p⇒(q⇒r)

11.Hukum De Morgan

a.       ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

 b.       ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

 IMPLIKASI LOGIK                                                                                                                                                       Implikasi (proposisi bersyarat)

Implikasi adalah Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL
”.àdengan notasi “
 q dapat dibaca :àNotasi p
1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p
Tabel kebenaran implikasi

 q®p q p
T T T
T F F
F T T
F F T
 

B. Contoh Implikasi
• Contoh ke-1
p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p _ q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.

Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p>q, ialah proposisi yang bernilai salah
jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.
Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa) dan proposisi q disebut konsekuen(konklusi/kesimpulan).
• Contoh ke-2
a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.
b. Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri
Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi.

DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q”
disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan
p q
Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).