BAB 10 Himpunan Dan Bilangan

A.      HIMPUNAN

himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

B.      PENULISAN SUATU HIMPUNAN

1.       Cara pendaftaran

Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.

Contoh : - himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18,

ditulis B= {0,1,2,3,...}

 -himpunan binatang berkaki 4, ditulis B= {sapi,babi,anjing,...}

2.       Cara pencirian

Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.

Contoh: - himpunan bilangan real  yang 2,005<x≤10,11

                        Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi  R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}

 -himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}

C.      JUMLAH UNSUR PADA SUATU HIMPUNAN

                Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= kardinal.

                Contoh :

1.       A= {a,i,u,é,o,e}

“N(A)”= 6

2.       B= {-2,-1,0,1,2,3,4}

“N(A)”=7

D.      MACAM-MACAM HIMPUNAN

yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama.

Contoh :  Macam-macam Himpunan :

1. Himpunan berhingga ( finite set ) yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga. Contoh :

A = { x ê x  adalah 3 bilangan  ganjil pertama } = { 1, 3, 5 }

B = { x ê 5 < x < 15 ,  x = bilangan genap } =  { 6, 8, 10, 12, 14 }   

        2.    Himpunan tak berhingga ( infinite set ), yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga.

Contoh :

A = { x ç x  adalah bilangan genap >  2 } = { 4, 6, 8, 12, 14, ……… }   

B = { x ç x  adalah bilangan asli > 5 } = { 6, 7, 8, 9, 10, ……..…… }   

         3.    Himpunan kosong ( void set ), yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen.

Contoh :

E = { x ê x² = 16 , x  adalah ganjil } = {     }   atau   f

      4.    Himpunan sama, yaitu himpunan yang memiliki elemen-elemen yang sama, walaupun urutannya berbeda.

Contoh :

Jika A = { 2, 3, 4, 5  } dan B = { 4, 2, 3, 5} maka  A = B

       5.    Himpunan Ekivalen ( kesamaan 2 himpunan ),

Jika A  =  { 2, 3, 1, 19, 5} dan B = { i, q, b, a, l } maka  A ~ B karena n(A) = n(B) = 5      

         6.    Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain.

Contoh :

Jika A  =  { 3, 4, 5, 6 } dan B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } maka  A Ì B  ( A subset dari B ), sedangkan  B É A  ( B superset dari A) karena B mengandung semua elemen dari A.

7. Himpunan saling lepas / asing / disjoint, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda.

Contoh :

Jika A  = { 6, 7, 8, 9  } dan B = { 16, 17, 18, 19 } maka  A  | |  B

8. Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan.

Contoh :

Jika A  =  {1, 2, 3, 4 } , B = {5, 6, 7, 8} dan  C = { 9, 10, 11, 12,}

maka himpunan semestanya N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,}

        9.    Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.

Contoh :

Jika A = { bilangan bulat positif}, B  =  {1, 2, 3, 4, 5 } dan

C = {1, 2, 3,...} maka himpunan komplemen dari C adalah C^c = {4, 5, 6 ...} dan himpunan komplemen dari B adalah B^c =  { 6, 7, 8 … }

     10. Himpunan Keluarga / Set of  Set, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan.

Contoh :

     A  =  {{2,4}, {1,5}, {2,6,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

     B  =  {{2,4},  1, 5 , {2,6,7}} ……… Û Bukan Himpunan Keluarga

       11.  Himpunan Power Set / Kuasa, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

     Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2ⁿ maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2ⁿ.

     Contoh :

     A =  { 2, 4 } maka himpunan bagiannya ada 2² = 4, yaitu :

{ 2  }  Ì  {2, 4}, { 4  }  Ì  {2, 4}, {2, 4}  Ì  {2, 4,}, {   }  Ì  {2, 4} maka himpunan kuasa A = {2,4}  adalah {{2},{4},{2,4},{  }}

E. KAIDAH PENULISAN DAN NOTASI HIMPUNAN

Subjek	Notasi
Nama himpunan	Huruf Besar
Elemen himpunan	Huruf kecil
Jenis Bilangan Bilangan Asli  Bilangan Bulat  Bilangan Riil  Bilangan Rasional  Bilangan Kompleks	Macam notasi N Z R R C
Himpunan kosong	atau
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati	, , ,
Komplemen
Himpunan kuasa
Semesta pembicaraan
Penulisan himpunan menggunakan tanda kurung kurawa dan dipisahkan oleh tanda koma	{ x, y,}
Himpunan yang anggotanya tidak terhingga dinyatakan dengan 3 titik	{A, B, C, …}
Keanggotaan himpunan dinyataan dengan	∈
Jumlah anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n.	A= {1,2, 3, 4…}

F. CARA MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN.

Untuk menyatakan suatu himpunan dapat menggunakan cara berikut, yaitu:

1. Cara menyatakan himpunan dengan kata-kata

Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk kalimat dengan menuliskan syarat-syarat keanggotaan. Contoh cara menyatakan himpunan dalam bentuk kalimat antara lain adalah:

• Himpunan bilangan asli yang kurang dari tujuh
• Himpunan siswa kelas 3 yang berambut ikal
• Himpunan bilangan bulat yangkurang dari 10 dan habis di bagi 2

2. Cara menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

Menyatakan himpunan dengan cara ini digunakan untuk menyatakan himpunan yang anggotanya tidak terhingga. Secara umum bentuk notasi himpunan adalah sebagai berikut:

{X| . . .,X ∈ . . .}

Contohnya: A = {X|X < 10, X ∈ A}

3. Cara menyatakan himpunan dengan mendaftar

Menyatakan himpunan dengan mendaftar adalah suatu cara menyatakan himpunan dengan cara mendaftar dan memilik anggota himpunan bilangan tersebut satu per satu. Contoh cara menyatakan himpunan  dengan mendaftar:

• D adalah bilangan genap kurang dari 7, maka D = {2,4,6}
• F adalah bilangan prima kurang dari 10, maka F = {1, 3, 5, 7}

Untuk mempelajari artikel tentang himpunan secara lebih detail lagi silah membuka halaman kamus Q yang berlabel Himpunan.

MACAM-MACAM BILANGAN

1. BILANGAN RIIL (BILANGAN NYATA)

2. BILANGAN RASIONAL

3. BILANGAN IRRASIONAL

4. BILANGAN BULAT

5. BILANGAN ASLI

6. BILANGAN PRIMA

7. BILAGAN CACAH

8. BILANGAN IMAJINER (BILANGAN KHAYAL)

9. BILANGAN KOMPLEKS

10. BILANGAN KOMPOSIT

Diagram Venn

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.

Diagram Venn untuk set A, B, dan C

Hubungan antara set A, B dan C